Defensor público pode cobrar para agilizar o processo de soltura?

Tenho um parente que foi absolvido e teve a expedição do alvará de soltura solicitado com brevidade, mas continua preso. O caso dele está com um defensor público, que está cobrando R$ 2.000,00 para agilizar o processo de liberdade, consultamos outra advogada e ela pediu R$ 6.000,00 garantindo que o meu parente seria solto em poucos dias. Nenhumas dessas opções é financeiramente viável para a minha família, mas ainda assim minha dúvida é se eles podem cobrar por isso. Ao meu ver, não estariam fazendo mais do que a profissão deles, e como defensores públicos, exige. Outra dúvida, seguindo com o processo natural, em média, quanto tempo leva até que ele seja solto? Tem cerca de três semanas que ele foi absolvido e continua preso. Como devemos prosseguir, alguma orientação? Podemos nós mesmos levar essa decisão para que o alvará seja expedido? Aguardo retorno, obrigada.