Tenho direito de registrar meu enteado.

Sou casada e tenho um enteado, a mãe abandonou e deixou a criança com a vó paterna, e a avó entregou para o pai, desde desse dia ela nunca apareceu, a criança tinha 02 anos e desde de então eu é quem cuido, ele já tem 06 anos e a mãe ou algum parente materno nunca apareceram, ele nem lembra mais dela ou de alguém da família da mãe biológica, acha que sou a mãe dele, e me chama de mãe, cuido dele como se fosse meu filho biológico, o pai dele na época foi ao concelho tutelar e pegou uma guarda provisória, e foi registrado no Conselho o abandono da mãe, um detalhe a criança ainda mamava e estava doente no dia do abandono. Tudo isso está registrado no Conselho tutelar, eu gostaria de saber se posso passar ele pro meu nome, e quais os meus direitos?
Outra dúvida, a avó paterna da criança não mora com nós, nem cuida da criança, essa semana ela foi no bolsa família fazer o cadastro e quer incluir ele, alegando que vai o dinheiro para comprar as despesas pra ele, mas ela quer que o pai assine o documento reconhecendo que quem cuida da criança é ela, se ele assinar eu perco todos os meus direitos, por mais que ele assine, mas ela não cuida da criança e nem mora na msm casa. Me ajuda aí